נסו בחינם — מתמטיקה 4 יח"ל

רמזים

1. סמנו את המהירות הלא ידועה ב־$v$ ובטאו את שני זמני הנסיעה באמצעותה.
2. הפרש הזמנים נתון – כתבו משוואה של "זמן איטי פחות זמן מהיר".
3. התקבלה משוואה ריבועית; זכרו לפסול פתרון שלילי.

רמזים

1. הספק = חלק הבריכה שממולא בשעה, כלומר $\frac{1}{\text{זמן}}$.
2. כשעובדים יחד ההספקים מתחברים.
3. בסעיף ב חשבו קודם איזה חלק נותר למלא.

רמזים

1. כמות = סכום כסף חלקי מחיר.
2. כתבו את הכמות בשני המצבים, והפרש הכמויות נתון.
3. פסלו פתרון שבו המחיר המוזל אינו חיובי.

רמזים

1. השתמשו בנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ עבור שני האיברים הנתונים.
2. חיסור שתי המשוואות מבטל את $a_1$.
3. לסכום: $S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)d)$.

רמזים

1. כתבו כל איבר בעזרת $a_1$ ו־$q$.
2. חלקו את המשוואות זו בזו כדי לבטל את $a_1$.
3. סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$.

רמזים

1. סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת: $\frac{a_1}{1-q}$ כאשר $|q|<1$.
2. גם ריבועי האיברים יוצרים סדרה הנדסית – מה המנה שלה?
3. חלקו את המשוואות כך ש־$a_1$ יתבטל.

רמזים

1. בדקו שהניסויים בלתי תלויים ובעלי אותה הסתברות – זו נוסחת ברנולי.
2. "לפחות אחת" – נוח לחשב דרך המאורע המשלים.
3. בהסתברות מותנית: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

רמזים

1. שרטטו עץ הסתברויות עם שני שלבים.
2. הסתברות כוללת = סכום מכפלות לאורך הענפים המתאימים.
3. בסעיף ב השתמשו בהסתברות מותנית: הענף המבוקש חלקי כל הענפים "אדום".

רמזים

1. בנו טבלה עם שורות "מדעים/לא מדעים" ועמודות "חוג/לא חוג".
2. אחוז "מבין" הוא הסתברות מותנית – הכפילו בהסתברות השורה.
3. אי־תלות: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

רמזים

1. הפכו כל ערך לציון תקן: $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$.
2. בטבלה מופיע $\Phi(z)$ – השטח משמאל ל־$z$.
3. לערכים שליליים: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$.

רמזים

1. מצאו בטבלה את $z$ שעבורו $\Phi(z)$ שווה לשבר הנתון.
2. השוו $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ ופתרו עבור $\sigma$.
3. מספר נתונים = גודל המדגם כפול השבר.

רמזים

1. משווים תוצאות מהתפלגויות שונות לפי ציון התקן.
2. $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$.

רמזים

1. ישרים מאונכים: $m_1\cdot m_2=-1$.
2. עקב הגובה הוא נקודת החיתוך של הגובה עם הצלע.
3. שטח משולש = חצי בסיס כפול גובה.

רמזים

1. השלימו לריבוע בנפרד את איברי $x$ ואת איברי $y$.
2. השוו את המרחק מהמרכז לרדיוס.
3. על ציר ה־$x$: $y=0$.

רמזים

1. הציבו את משוואת הישר במשוואת המעגל.
2. אורך קטע לפי נוסחת המרחק.
3. הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר.

רמזים

1. חפשו זוויות מתאימות שנוצרות מהמקבילים.
2. שימו לב: יחס הדמיון הוא $AD:AB$ ולא $AD:DB$.
3. יחס שטחים של משולשים דומים = ריבוע יחס הדמיון.

רמזים

1. השתמשו במשפט "זווית בין משיק למיתר".
2. מהדמיון מתקבל $AB^2=AC\cdot AD$.
3. זכרו: $AD=AC+CD$.

רמזים

1. חפשו זוויות קודקודיות וזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.
2. מהדמיון נובע משפט חיתוך מיתרים.

רמזים

1. חשבו קודם את הזווית השלישית.
2. משפט הסינוסים כולל גם את $2R$.
3. שטח = חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

רמזים

1. שלוש צלעות ידועות – משפט הקוסינוסים.
2. לאחר שמצאתם זווית, השטח הוא $\frac12ab\sin C$.
3. $\frac{c}{\sin C}=2R$.

רמזים

1. השתמשו בנוסחת השטח $\frac12 bc\sin A$.
2. זכרו: לסינוס חיובי יש שתי זוויות אפשריות בין $0^\circ$ ל־$180^\circ$.

רמזים

1. זווית בין ישר למישור = הזווית בין הישר להיטלו על המישור.
2. מצאו משולש ישר־זווית שבו הקטע הוא יתר.
3. הקטע $B'C'$ מאונך לפאה $ABB'A'$.

רמזים

1. בפירמידה ישרה הגובה נופל למרכז הבסיס.
2. הזווית בין פאה לבסיס נמדדת בניצב לישר החיתוך (דרך אמצע צלע הבסיס).
3. נפח פירמידה $V=\frac13 Sh$.

רמזים

1. ההיטל של האלכסון על הבסיס הוא אלכסון הבסיס.
2. במשולש $ACC'$ הזווית ב־$C$ ישרה.

רמזים

1. בתיבה שמקצועותיה על הצירים, כל קודקוד מתקבל מצירוף אורכי המקצועות.
2. $\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}$.
3. בדקו אם יש זווית ישרה במשולש – זה מקצר את חישוב השטח.

רמזים

1. מסלול וקטורי: מגיעים לנקודה דרך נקודות ידועות.
2. וקטורים מאונכים – מכפלה סקלרית אפס.
3. $|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a$.

רמזים

1. מאונכים ⇔ מכפלה סקלרית אפס.
2. $\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$.

רמזים

1. גדילה ב־$p\%$ – הכפלה ב־$1+\frac{p}{100}$ בכל שנה.
2. כדי לפתור משוואה מעריכית הוציאו לוגריתם משני האגפים.

רמזים

1. חלקו את שתי המדידות זו בזו כדי לבטל את $M_0$.
2. אחוז השינוי לשעה: $|q-1|\cdot100\%$.

רמזים

1. בכל זמן מחצית חיים הכמות מוכפלת ב־$\frac12$.
2. הוציאו לוגריתם כדי למצוא את הזמן.

רמזים

1. גזרו והשוו את הנגזרת לאפס.
2. קבעו את סוג הקיצון בטבלת סימנים של $f'$ או בעזרת $f''$.
3. נקודת פיתול – היכן ש־$f''$ מחליפה סימן.

רמזים

1. תחום ההגדרה: המכנה שונה מאפס.
2. אסימפטוטה אנכית – איפוס המכנה (בלי איפוס המונה); אופקית – גבול באינסוף.
3. נגזרת מנה: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

רמזים

1. בנקודת קיצון של פונקציה גזירה מתקיים $f'(x)=0$.
2. הציבו את $x$ הנתון בנגזרת ופתרו עבור $a$.
3. בדקו את סוג הקיצון בטבלה.

רמזים

1. תחום: הביטוי בתוך השורש הריבועי חייב להיות אי־שלילי (ושונה מאפס אם הוא במכנה).
2. $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
3. השוו את המונה של $f'$ לאפס ובדקו שהפתרון בתחום.