נסו בחינם — מתמטיקה 5 יח"ל

רמזים

1. הספק = חלק הבריכה שממולא בשעה, כלומר $\frac{1}{\text{זמן}}$.
2. כשעובדים יחד ההספקים מתחברים.
3. בסעיף ב חשבו קודם איזה חלק נותר למלא.

רמזים

1. הדרך שכל מכונית עוברת אחרי הפגישה שווה לדרך שהאחרת עברה לפניה.
2. כתבו שתי משוואות כאלה וכפלו או חלקו ביניהן.
3. התשובה לסעיף א אינה תלויה במהירויות.

רמזים

1. דרך = מהירות × זמן לכל קטע.
2. סכום הדרכים בשני הקטעים נתון.

רמזים

1. השתמשו בנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ עבור שני האיברים הנתונים.
2. חיסור שתי המשוואות מבטל את $a_1$.
3. לסכום: $S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)d)$.

רמזים

1. כתבו כל איבר בעזרת $a_1$ ו־$q$.
2. חלקו את המשוואות זו בזו כדי לבטל את $a_1$.
3. סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$.

רמזים

1. סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת: $\frac{a_1}{1-q}$ כאשר $|q|<1$.
2. גם ריבועי האיברים יוצרים סדרה הנדסית – מה המנה שלה?
3. חלקו את המשוואות כך ש־$a_1$ יתבטל.

רמזים

1. התחילו בבדיקת $n=1$.
2. בצעד האינדוקציה הוסיפו לאגף שמאל את האיבר ה־$(n+1)$ והשתמשו בהנחה.
3. הוציאו גורם משותף לפני פתיחת סוגריים – זה חוסך עבודה.

רמזים

1. בדקו את $n=1$.
2. כתבו את הביטוי עבור $n+1$ כ־$36$ כפול הביטוי עבור $n$ ועוד שארית.
3. השתמשו בהנחת האינדוקציה ובדקו שהשארית מתחלקת.

רמזים

1. בדקו את $n=1$.
2. הציבו את הנחת האינדוקציה בכלל הנסיגה ופשטו.

רמזים

1. בדקו שהניסויים בלתי תלויים ובעלי אותה הסתברות – זו נוסחת ברנולי.
2. "לפחות אחת" – נוח לחשב דרך המאורע המשלים.
3. בהסתברות מותנית: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

רמזים

1. שרטטו עץ הסתברויות עם שני שלבים.
2. הסתברות כוללת = סכום מכפלות לאורך הענפים המתאימים.
3. בסעיף ב השתמשו בהסתברות מותנית: הענף המבוקש חלקי כל הענפים "אדום".

רמזים

1. בנו טבלה עם שורות "מדעים/לא מדעים" ועמודות "חוג/לא חוג".
2. אחוז "מבין" הוא הסתברות מותנית – הכפילו בהסתברות השורה.
3. אי־תלות: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

רמזים

1. חפשו זוויות מתאימות שנוצרות מהמקבילים.
2. שימו לב: יחס הדמיון הוא $AD:AB$ ולא $AD:DB$.
3. יחס שטחים של משולשים דומים = ריבוע יחס הדמיון.

רמזים

1. השתמשו במשפט "זווית בין משיק למיתר".
2. מהדמיון מתקבל $AB^2=AC\cdot AD$.
3. זכרו: $AD=AC+CD$.

רמזים

1. חפשו זוויות קודקודיות וזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.
2. מהדמיון נובע משפט חיתוך מיתרים.

רמזים

1. חשבו קודם את הזווית השלישית.
2. משפט הסינוסים כולל גם את $2R$.
3. שטח = חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

רמזים

1. שלוש צלעות ידועות – משפט הקוסינוסים.
2. לאחר שמצאתם זווית, השטח הוא $\frac12ab\sin C$.
3. $\frac{c}{\sin C}=2R$.

רמזים

1. השתמשו בנוסחת השטח $\frac12 bc\sin A$.
2. זכרו: לסינוס חיובי יש שתי זוויות אפשריות בין $0^\circ$ ל־$180^\circ$.

רמזים

1. גזרו והשוו את הנגזרת לאפס.
2. קבעו את סוג הקיצון בטבלת סימנים של $f'$ או בעזרת $f''$.
3. נקודת פיתול – היכן ש־$f''$ מחליפה סימן.

רמזים

1. תחום ההגדרה: המכנה שונה מאפס.
2. אסימפטוטה אנכית – איפוס המכנה (בלי איפוס המונה); אופקית – גבול באינסוף.
3. נגזרת מנה: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

רמזים

1. בנקודת קיצון של פונקציה גזירה מתקיים $f'(x)=0$.
2. הציבו את $x$ הנתון בנגזרת ופתרו עבור $a$.
3. בדקו את סוג הקיצון בטבלה.

רמזים

1. תחום: הביטוי בתוך השורש הריבועי חייב להיות אי־שלילי (ושונה מאפס אם הוא במכנה).
2. $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
3. השוו את המונה של $f'$ לאפס ובדקו שהפתרון בתחום.

רמזים

1. תחום: ביטוי תחת שורש ריבועי אי־שלילי, ומכנה שונה מאפס.
2. גזרו בעזרת $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ וכנסו למכנה משותף.
3. בדקו את סימן $f'$ בין הנקודות החשודות.

רמזים

1. תחום: הביטוי בתוך השורש הריבועי חייב להיות אי־שלילי (ושונה מאפס אם הוא במכנה).
2. $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
3. השוו את המונה של $f'$ לאפס ובדקו שהפתרון בתחום.

רמזים

1. גזרו – זכרו את כלל השרשרת עבור $\sin 2x$.
2. פתרו משוואה טריגונומטרית ומצאו את כל הפתרונות בתחום.
3. ערך גדול/קטן ביותר – השוו בין נקודות הקיצון לקצוות התחום.

רמזים

1. שרטטו וזהו איזו פונקציה עליונה.
2. $\int\sin x\,dx=-\cos x$, $\int\cos(ax)\,dx=\frac{\sin(ax)}{a}$.

רמזים

1. גזרו והשוו לאפס – תתקבל משוואה מהצורה $\sin x=c$ או $\cos x=c$.
2. מצאו את כל הפתרונות בתחום $[0,2\pi]$ בעזרת מעגל היחידה.
3. קבעו סימן של $f'$ בכל תת־תחום.

רמזים

1. בחרו משתנה – שיעור ה־$x$ של הקודקוד על הגרף.
2. בטאו את השטח כפונקציה של משתנה אחד וגזרו.
3. בדקו שזהו מקסימום (טבלה או נגזרת שנייה).

רמזים

1. אורך ורוחב הבסיס קטנים ב־$2x$ כל אחד; הגובה הוא $x$.
2. קבעו את התחום של $x$ לפני הגזירה.
3. פסלו פתרון של $V'=0$ שמחוץ לתחום.

רמזים

1. כתבו נקודה כללית על הגרף בעזרת משתנה אחד.
2. במקום למזער את המרחק, מזערו את ריבועו.
3. השוו בין כל הנקודות החשודות.

רמזים

1. מצאו את נקודות החיתוך – הן גבולות האינטגרציה.
2. בדקו איזו פונקציה עליונה בתחום (הציבו נקודה באמצע).
3. שטח = אינטגרל של (עליונה פחות תחתונה).

רמזים

1. גבולות האינטגרציה הם נקודות האפס של הפונקציה (תלויים ב־$k$).
2. חשבו את האינטגרל כביטוי ב־$k$ והשוו לשטח הנתון.

רמזים

1. נפח גוף סיבוב סביב ציר $x$: $V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx$.
2. העלו את הפונקציה בריבוע לפני האינטגרציה.

רמזים

1. מרכז המעגל שווה מרחק משלוש הנקודות.
2. אפשר להציב את הנקודות במשוואה הכללית ולפתור מערכת.
3. חיתוך שני אנכים אמצעיים נותן את המרכז.

רמזים

1. המשיק ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה.
2. שיפועים של ישרים מאונכים: $m_1m_2=-1$.

רמזים

1. כתבו $PA^2=PB^2$.
2. האיברים $x^2,y^2$ מתבטלים – מה מתקבל?

רמזים

1. הציבו נקודה כללית של הישר במשוואת המישור.
2. זווית בין ישר למישור: $\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec u|}{|\vec n||\vec u|}$.

רמזים

1. מצאו שני וקטורים במישור.
2. וקטור נורמל: פתרו מערכת $\vec n\cdot\vec{AB}=0,\ \vec n\cdot\vec{AC}=0$.
3. מרחק נקודה ממישור: $\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

רמזים

1. הזווית בין מישורים = הזווית (החדה) בין הנורמלים.
2. לישר החיתוך: מצאו וקטור הניצב לשני הנורמלים ונקודה המקיימת את שתי המשוואות.